Пределы монотонных функций

Если $f(x)$ возрастает в правой полу-окрестности $O^{+}(a)=(a,a+\delta)$ и ограничена снизу, то $\exists{\lim_{x \to a+0} f(x)} = \inf_{x \in O^{+}(a)} f(x)$ Если $f(x)$ убывает в правой полу-окрестности $O^{+}(a)=(a, a+\delta)$ и ограничена сверху, то $\exists{\lim_{x \to a+0} f(x)} = \sup_{x \in O^{+}(a)} f(x)$ Если $f(x)$ возрастает в левой полу-окрестности $O^{-}(a)=(a-\delta, a)$ и ограничена сверху, то $\exists{\lim_{x \to a-0} f(x)} = \sup_{x \in O^{-}(a)} f(x)$ Если $f(x)$ убывает в левой полу-окрестности $O^{-}(a)=(a-\delta, a)$ и ограничена снизу, то $\exists{\lim_{x \to a-0} f(x)} = \inf_{x \in O^{-}(a)} f(x)$

$f(x)$ - ограничена снизу, значит $\exists{\inf_{x \in O^{+}(a)} f(x) = A}$, докажем, что $\lim_{x \to a+0} f(x) = A$ По определению $\inf$: $$\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{x_{0} \in O^{+}(a)}\mathpunct{:}~~ f(x_0) < A + \varepsilon$$ Тогда: $$A - \varepsilon < A \leq f(x) \leq f(x_{0}) < A + \varepsilon$$ Получаем: $$\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta = x_{0} - a}~~ \forall{x}\mathpunct{:}~~ a < x < a+\delta \Rightarrow A-\varepsilon < f(x) < A+\varepsilon$$ А значит: $\lim_{x \to a+0} f(x) = A ~~~\square$